Lân cận của một điểm

Một hình chữ nhật không phải là một lân cận của bất kỳ đỉnh nào của nó (hay những điểm trên biên).

Nếu X là một không gian tôpô và p là một điểm trong X, một lân cận của p là một tập con V của X bao một tập mở U chứa p,

p ∈ U ⊆ V . {\displaystyle p\in U\subseteq V.}

Điều này tương đương với việc điểm p nằm trong V.

Để ý rằng lân cận V không nhất thiết là một tập mở. Nếu V là mở thì nó được gọi là một lân cận mở.[1] Tuy nhiên một số nhà toán học yêu cầu lân cận phải là tập mở, nên cần để ý quy ước.

Một tập A là lân cận của mọi điểm nó chứa là tập mở vì nó có thể biểu diễn thành hợp của những tập mở chứa mỗi điểm của A. Một hình chữ nhật, như trong hình minh họa, không phải là lân cận của tất cả những điểm của nó; những điểm trên các cạnh hay góc không nằm trong bất kỳ tập mở nào bao trong hình chữ nhật.

Tất cả các lân cận của một điểm được gọi là hệ lân cận tại điểm đó.

Lân cận của một tập hợp

Nếu S là một tập con của không gian tôpô X thì một lân cận của S là tập V bao gồm một tập mở U chứa S. Từ đây ta suy ra rằng tập V là một lân cận của S khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm chứa trong S. Hơn thế nữa, V là lân cận của S khi và chỉ khi S là một tập con của phần trong của V. Lân cận của một điểm khi ấy là một trường hợp đặc biệt của định nghĩa này.